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Páginas: 293-304 Recibido: 2023-01-09 Revisado: 2023-02-15 Aceptado: 2023-05-18 Preprint: 2023-07-31 Publicación
Final: 2023-09-01 |
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Francisco Rodríguez Alveal |
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Timur Koparan |
Resumen
El propósito del
presente artículo es identificar y describir las habilidades asociadas al
pensamiento probabilístico adquiridas por el profesorado en matemática en
formación en las asignaturas de estadística cuando dan respuesta a juegos estocásticos.
Para tal efecto se hizo uso de un enfoque cualitativo, en base a un análisis de
contenido. Como técnica de captura de información se aplicó un instrumento de
dos juegos no determinísticos adaptados al contexto chileno en las cuales los
participantes debían dar respuesta a tres preguntas abiertas. Los 34
participantes fueron seleccionados mediante un muestreo no probabilístico del
tipo intencionado. Entre los principales hallazgos se destacan que el
profesorado en formación manifiesta escasa capacidad para conjeturar, como así también
el transito entre la probabilidad intuitiva
a la frecuencial, asimismo no representan
gráficamente ni argumentan acerca del comportamiento de fenómenos aleatorios
afín de lograr un aprendizaje colaborativo y de retroalimentación entre pares.
En cambio, se evidencia el uso de tecnología en las simulaciones, acorde a lo
explicitado en el currículo escolar. En conclusión, los profesores en formación
de pedagogía en matemática presentan un escaso desarrollo en las habilidades
asociadas al pensamiento probabilístico para describir y justificar el
comportamiento de fenómenos estocásticos.
Abstract
The purpose of this article is to identify and
describe the skills associated with probabilistic thinking acquired by
mathematics teachers in training in statistics subjects when they respond to
stochastic games. For this purpose, a qualitative approach was used, based on a
content analysis. As an information capture technique, an instrument of two
non-deterministic games adapted to the Chilean context was applied, in which
the participants had to answer three open questions. The 34 participants were
selected by means of a non-probabilistic sampling of the intentional type.
Among the main findings, it stands out that the teachers in training show
little capacity to conjecture, as well as the transit between the intuitive
probability to the frequency, likewise they do not graphically represent or
argue about the behavior of random phenomena in order to
achieve collaborative learning and peer feedback. Instead, the use of
technology in the simulations is evident, according to what is explicit in the
school curriculum. In conclusion, teachers in mathematics pedagogy training
have little development in the skills associated with probabilistic thinking to
describe and justify the behavior of stochastic phenomena.
Palabras clave / Keywords
Statistics,
Probability, Teaching, probabilistic thinking, random games, Active learning,
ICT, Secondary education
Estadística, Probabilidad, Enseñanza, pensamiento
probabilístico, juegos aleatorios, Aprendizaje activo, TIC, Enseñanza secundaria.
1.
Introducción
Actualmente, los
estudiantes que han ingresado o están integrándose a las carreras de pedagogía
hacen uso de dispositivos tecnológicos entre 16 y 21 horas semanales (Sandoval
et al., 2017). Demandando estrategias de enseñanza y deaprendizaje
acordes a una sociedad tecnológica y dinámica (Chávez, 2020).
En coherencia con lo
anterior, Chevallard
(2017) ha declarado que el currículo en matemática requiere ser renovado
donde la estadística ocupe un lugar fundamental. En esta línea, el informe Guidelines for Assessment and Instruction in Statistics Education (GAISE)
hace hincapié que los cursos de estadística y probabilidad deben fomentar un
aprendizaje activo y desarrollar una comunicación eficaz de los conceptos por
parte del estudiantado como así también hacer uso de herramientas tecnológicas
(Carver et al., 2016; Garfield et al., 2005). Esto se encuentra en sintonía con
lo mencionado por Padilla-Escorcia y Acevedo-Rincón (2021) quienes señalan que
los “profesores de matemática deben conocer herramientas y recursos
tecnológicos que permitan enseñar de manera efectiva el conocimiento” (p. 94).
Por otro lado, Aksoy et al. (2015) han hecho notar que una de las tareas
cognitivas más importantes en las aulas del sistema escolar y universitarias es
la resolución de problemas contextualizados que permitan colocar en práctica
habilidades teóricas y prácticas. En este sentido, Anasagasti y Berciano (2016)
indican que es necesario promover una “enseñanza de la estadística y
probabilidad a través de estrategias activas de aprendizaje” (p. 33) haciendo
uso de simulaciones, que favorezcan la reflexión, autonomía, trabajo
colaborativo y la discusión entre el estudiantado.
En coherencia, surgen
las interrogantes ¿Qué conceptos y argumentos estadísticos o probabilísticos
emplean los profesores en formación matemática al dar respuesta a situaciones
problemas afines a juegos no determinísticos?, ¿Qué herramientas TIC utilizan
los profesores en formación para simular problemas afines a juegos no
determinísticos? Para dar respuesta a estas preguntas, se definen los
siguientes objetivos de investigación: 1) Identificar los conceptos
estadísticos o probabilísticos que hacen mención de forma oral y escrita el
profesorado en formación al dar respuesta a las actividades propuestas, 2) Describir
las simulaciones realizadas por los profesores y profesoras en formación en el
contexto de la situación planteada y 3) Develar los argumentos entregados por
los participantes al resolver y justificar situaciones problemas afines a
juegos no determinísticos.
1.1. Juegos
no determinísticos como metodología de enseñanza
Las investigaciones sobre el aprendizaje basado
en juegos han entregado antecedentes que esta metodología promueve entornos de
aprendizaje activos y colaborativos (Blumberg et al., 2013). En particular, los
juegos estocásticos favorecerían un cambio paradigmático en la entrega de
contenidos probabilísticos que vayan más allá de la aritmetización
(Estrella, 2017). De manera que el estudiantado conecte ideas y conceptos, en
síntesis, adquirir un pensamiento probabilístico (Garfield y Ben-Zvi, 2008).
En esta misma línea, Carver et al. (2016) exhortan
al profesorado implementar actividades de aprendizaje que permitan explorar el
comportamiento de juegos aleatorios mediante el uso simulaciones. Este tipo de
actividades es coherente, con el modelo propuesto por Lee y Hollebrands
(2011) acerca del conocimiento pedagógico tecnológico del profesorado en el
cual la tecnología favorece la adquisición de un pensamiento probabilístico. Dicho
de otra forma, en la búsqueda de soluciones el estudiantado transita entre la
predicción, observación y explicación fases que según Küçüközer
(2013) permitirían aclarar sus ideas de manera de adquirir las habilidades y
conocimientos relacionados con el pensamiento probabilístico. Dichas habilidades
tienen una estrecha relación con la metodologia de proyectos
estadístico que “abren la puerta hacia un mundo donde se percibe la pertinencia
de la estadística en la comprensión e interpretación de los fenómenos que
ocurren allí” (León, 2020, p.246), promoviendo entornos de aprendizaje activo y
colaborativo, que favorecen la interacción, reflexión, cuestionamiento y
discusión entre el estudiantado (Azcárate y Cardeñoso,
2011; Takeuchi, 2016). En síntesis, implica “cambios en el modelo de enseñanza
aprendizaje” (Luna, 2021, p.130) transitando desde la clase tradicional
centrada en el docente hacia un
modelo donde el estudiantado tenga una participación activa.
Al respecto, los juegos aleatorios son
introducidos en el currículo escolar chileno mediante actividades relacionadas
al uso de monedas, dados, ruletas y bolas (Huerta, 2020) en los cuales se
encuentran presentes tareas como modelar y explicar. A través de ellas se logra
“razonar partiendo de datos empíricos inciertos y formas de pensar en términos
de la variabilidad de los fenómenos y de patrones que en ellos emergen” (León,
2020; p.661). Asimismo, entre los objetivos de
aprendizaje se encuentra abordar el significado intuitivo, clásico, frecuencial
de la probabilidad (Batanero, 2005), como así también conjeturar acerca de la
tendencia de resultados y modelar fenómenos o situaciones cotidianas no
determinísticas.
1.2. El
pensamiento probabilístico y las TIC
Como mencionan Perdomo y Rojas (2018) la
introducción de las TIC es una de las grandes revoluciones en la enseñanza y la
pedagogía. Debido que ayudan a pensar estadísticamente, como también fomentar
el aprendizaje activo (Carver et al., 2016; Garfield et al., 2005). Es por ello
que su inserción en el proceso de enseñanza y aprendizaje es clave para la la
exploración y adquisición de contenidos y conceptos propios de la estadística y
probabilidad de manera de desarrollar las habilidades conjeturar, interpretar,
simular, argumentar en el estudiantado (Koparan,
2019).
En este contexto, para Wild y Pfannkuch (1999) los procesos empíricos favorecen el
pensamiento probabilístico debido que articulan ideas y conceptos. Lo que se
pretende es minimizar el diseño manual de gráficos y resumen de información
numérica (,
2013) para concentrarse en la comprensión conceptual, interpretación de los
resultados, habilidades propias del pensamiento estadístico (Garfield y Ben-Zvi, 2008). En coherencia con lo anterior, en la Tabla 1 se
muestran las fases asociadas al pensamiento estadístico, probabilístico y el
uso de las TIC (Woodard, 2016) que serán consideradas en el presente estudio.
Tabla 1
Pensamiento
estadístico, probabilístico y uso de TIC
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Fases |
Definición de las
fases |
|
Pensamiento
Estadístico y/o Probabilístico |
Reconocimiento de
la necesidad de los datos |
-
Da una declaración sobre los datos en
la interpretación de los resultados. -
Es capaz de identificar si se utilizan
técnicas adecuadas de recopilación de datos. |
|
Transnumeración
|
-
Es capaz de pensar en las variables
del estudio y siente curiosidad por las formas de representarlas. -
Usa herramientas de análisis de datos
exploratorios para la exploración, y no solo métodos prescritos. -
Utiliza múltiples representaciones
para interpretar y dar sentido a los datos. |
|
|
Integración
estadística y contexto |
-
Es capaz de planificar la recopilación
y el análisis de datos en función del conocimiento contextual de los datos. -
Es capaz de sacar conclusiones más
razonables utilizando el contexto de los datos. |
|
|
Tics
y Estadística |
Reconoce los
patrones para la toma de decisiones |
-
Reconoce patrones, ya sea en la forma
en que se codifican las cosas o en el comportamiento de los resultados. -
Utiliza la salida de la tecnología
para ayudar a decidir a dónde ir a continuación en el análisis. |
|
Automatizar
computacionalmente los procedimientos |
-
Crea múltiples gráficos o resúmenes
para dar sentido a los datos. -
Utiliza la tecnología para realizar el
análisis y luego hace las inferencias adecuadas. |
Fuente: Woodard
(2016)
Al respecto, el currículo de enseñanza
secundaria en Chile hace mención al uso de Excel, no
obstante Sandoval et al. (2017) entregan evidencias que el 59% del profesorado
en formación encuestados en dicha oportunidad no lo dominan. Este hallazgo
resulta de interés como antecedente en el presente estudio dado que se trata de
poblaciones similares. Pero sobre todo generaría tensiones en el proceso de
enseñanza yaprendizaje de la estadística a nivel
universitario y por consiguiente en el sistema escolar chileno.
2.
Metodología
La investigación se enmarca en un diseño
cualitativo y descriptivo anidado (Cook y Reichardt,
2000). Las respuestas entregadas por el profesorado en formación fueron
analizadas mediante la técnica de análisis de contenido (Krippendorff,
1997).
2.1. Contexto y participantes
El estudio conto con la participación de 34
profesores y profesoras en formación de pedagogía en matemática que cursaban la
asignatura de Didáctica de la Estadísticaen el
segundo semestre de 2021 en una universidad perteneciente al Consejo de
Rectores de Universidades chilenas. Fueron seleccionados mediante un muestreo
no probabilístico del tipo intencionado (McMillan
y Schumacher, 2011) quienes trabajaron
colaborativamente de manera online atendiendo a una educación a distancia
producto del COVID-19. Para efectos del estudio los participantes se agruparon
libremente, generandose 11 grupos de trabajo de entre 1 y 4 integrantes cada uno. Cabe
mencionar que los participantes firmaron un consentimiento informado en el cual
se detallaba los alcances del estudio y el anonimato de ellos.
2.2. Instrumento de recolección de datos y procedimiento de análisis
Para efectos del estudio se aplicó un
instrumento relacionado con dos juegos estocásticos con tres ítems abiertos
cada uno, adaptados del artículo de Koparan (2019) al
contexto chileno. Los que se orientaban a conjeturar, simular
, observar y explicar el comportamiento empírico y teórico, como se muestra
en la Figura 1.
Situación
1: Piedra, papel y tijeras. Juego que consiste en la que ambos jugadores
usan señas con las manos indicando Puño: Piedra, Palma: papel, Dedos índice y
medio: tijeras. Mientras se participa, las manos se mueven simbolizando piedra, papel, tijeras. Donde la piedra rompe
las tijeras. Papel envuelve piedra y la Tijeras corta papel. Teniendo presente
el enunciado responder las siguientes preguntas:
a)
¿Es
justo el juego?. Entregue argumentaciones al respecto.
b)
Simular
el experimento y comentar que observa. Compare y comente acerca de los
resultados empíricos entregados en la simulación realizada y las probabilidades
teóricas calculadas.
Situación 2: Juego de
Dados. Dos amigos deciden jugar un juego de lanzamiento de
dados. Tiran dos dados y calculan la diferencia entre el número mayor y el
número menor, de los dados. Si la diferencia es 0, 1 ó
2, gana el primer jugador; en caso contrario, gana el segundo jugador.
a)
¿Cree que el juego es equitativo? Explica tu decisión
b)
Parte de la idea que juegas el juego con un amigo 50
veces (simula el juego con algún software). ¿Tu opinión sobre la equidad del
juego, cambió después de haberlo jugado? Explica tu respuesta con detalle.
c) ¿Cuál es la probabilidad
teórica de ganar de los jugadores? ¿Difiere de los resultados empíricos
encontrados anteriormente? Desarrolla tu respuesta.
Figura 1. Juegos no determinísticos planteados a los participantes. Adaptados Koparan (2019).
Los grupos entregaron sus respuestas a las
situaciones mediante dos productos, una explicación en audio y un informe
escrito. El tratamiento de la información fue realizado mediante un análisis de
contenido siguiendo los pasos propuestos por Mayring
(2000). Especificamente se indagó acerca de cómo
piensan, argumentan e interactúan verbalmente los integrantes de cada grupo de
manera de dar respuesta a las interrogantes planteadas. Teniendo presente las
fases mencionadas en la Tabla 1.
3.
Resultados
Acorde a lo
mencionado anteriormente, los resultados se dividen en dos secciones. En la
primera de ellas se presenta el análisis de la interacción verbal de los
participantes que permite evidenciar la forma en la que ellos piensan, razonan
y discuten para dan respuesta a las interrogantes planteadas. En la segunda sección
se analiza el informe escrito que permite ver la materialización las ideas
planteadas verbalmente por los participantes.
3.1. Análisis de la argumentación oral que realizan los profesores en
formación
En la primera situación los profesores en
formación interactúan oralmente entre 1.5 a 10.8 minutos, iniciando con la
lectura. En base a la cual, conjeturan acerca si el juego es justo como se
aprecia en las siguientes citas.
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El
juego, es justo con las reglas establecidas de piedra, papel y tijera. y las
opciones de los participantes es claramente aleatoria (Grupo_2) Yo creo
que si por qué ambos jugadores tienen las mismas posibilidades (Grupo_4) |
Predicen
desde la aleatoriedad Predicen
desde una mirada intuitiva |
Tal como se observa los participantes hacen mención
al concepto aleatoriedad sin entregar argumentaciones que permitan justificar
que el juego no es determinístico, como así también desde conceptos como
posibilidad asociados a la probabilidad intutiva (Batanero, 2005).
Por otra parte, acorde a lo solicitado en la pregunta b) los grupos comentan
que:
|
Al
jugarlo uno se puede dar cuenta que si es equitativo ya que los participantes
tienen las mismas posibilidades de ganar (Grupo_3) Se
podría darle numeritos para simular el juego (Grupo_2) |
Integración
estadística y contexto Transnumeración |
Se desprende que los participantes explicitan
que para tomar una decisión sobre la equidad del juego hay de jugarlo, haciendo
referencia al concepto de equiprobabilidad el cual se encuentra relacionado con
la probabilidad clásica (Batanero, 2005). Esto lo realizan sin entregar
argumentaciones teóricas al respecto. Asimismo, exponen que hay que asignar
valores numéricos a Piedra, Papel y Tijera lo que evidencia el proceso de transnumeración siendo una aproximación al pensamiento
probabilístico (Garfield y Ben-Zvi, 2008). Además,
declaran hacer uso de la función aleatorio.entre
de Excel para simular el juego, relacionando las TIC con la Estadística, como
se muestra en la siguiente cita.
|
Simular
el juego con Excel con aleatorio. entre (Grupo_1). |
Tics
y Estadística |
Los diálogos entre los participantes dan cuenta
del uso de tablas estadísticas para resumir los datos (transnumeracion)
y una aproximación a la automatización computacional (TIC y Estadística). Cabe
hacer notar que en los relatos verbales, no realizan
contra argumentaciones teóricas plausibles y solamente hacen referencia a
actividades procedimentales.
Por otro lado, en la actividad 2, los grupos
interactúan verbalmente entre 3.5 y 12.0 minutos, iniciando con la lectura y manifestando
hacer uso de simulaciones y tablas de distribución para resumir el lanzamiento
de los dos dados. Dicha acción estaría reflejando un cambio de representación (transnumeración) y la integración estadística y contexto,
categorías relacionadas al pensamiento estadístico (Tabla 2). Un ejemplo de
ello es el siguiente comentario.
|
Se
suponen que tiran dos dados, [la segunda integrante]: colocar todas las posibilidades, la [tercer integrante] que haría una tabla donde el primer
número sea 1 menos 1, 1 menos 2 hasta el 6. Después lo mismo con el 2, con el
tres y cuatro. (Grupo_1) |
Reconocimiento
de la necesidad de los datos Transnumeración |
Para algunos grupos la equidad
del juego se infieren desde la lectura del texto, en cambio, para otros el
juego no es justo, como se muestra en las siguientes citas.
|
Solo leyendo el problema se podría decir que el juego es equitativo.
(Grupo_1) La probabilidad de que la diferencia sea 0, 1 o 2 son tres
y de que sea 3, 4 y 5 tambien son tres. En ese sentido sería
equitativo (Grupo_4) |
Lectura
inferencial Reconocimiento
de la necesidad de los datos |
En sintesis, transitan desde
una lectura literal a una inferencial, sin entregar antecedentes teóricos,
haciendo uso básicamente de la intuición.
En cambio, otros grupos, fundamentan sus decisiones, a partir de las respuestas
diferentes entre los dados (Grupo_4), argumento que lleva a tomar una decision
incorrecta. Por otro lado, los participantes hacen mención de manera implicita
a la observacion y a conceptos
como probabilidad, búsqueda de patrones y transumeración. A manera de ejemplo mencionan.
|
Hay más probabilidad de que
salga el número 1 y el 2 que los otros , que las diferencias al lanzar
dos dados se repiten más (Grupo_1) |
Reconocimiento
de la necesidad de los datos |
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Es decir, sus intuiciones se
basan en la probabilidad clásica y transnumeración que se relaciona con el
pensamiento estadístico y busqueda de patrones (TIC y Estadística). Por otro
lado, realizan conclusiones desde la integración estadística y contexto (Pensamiento
Estadístico).
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El jugador 1 tienen más combinaciones a su favor, una de
las integrantes comenta que no se pueden hablar de que salgan sus
combinaciones pues tiene 0, 1 y 2 . (Grupo_4) |
Reconocimiento
de patrones |
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Los participantes del Grupo 4 develan problemas
conceptuales acerca de las combinaciones. Además, no contraargumentan
entre ellos de manera de institucionalizar conceptos y puntualizar otros de manera
de fomentar el pensamiento probabilistico.
3.2. Análisis de las respuestas entregadas por escrito de las actividades
planteadas
En la actividad 1, los
profesores en formación deben analizar si el juego es justo o no, desde una
mirada intuitiva. El 90% de los grupos conjeturó que el juego era justo,
entregando argumentaciones escritas como:
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Consideramos
que es justo el juego ya que ambos jugadores tienen las mismas posibilidades
de ganar y perder.
(Grupo_10) El
juego es justo, porque cada jugador puede perder, ganar o de empatar. (Grupo_7) |
Predicen
desde la equiprobabilidad Predicen
desde la probabilidad clásica |
Se evidencia un dogmatismo teórico (Sánchez et
al., 2018) debido que sus respuestas se enfocan implícitamente en el cálculo
clásico de probabilidad (Batanero, 2005) es decir, aceptan de forma natural la hipótesis
de la equiprobabilidad (Spiegelhalter y
Gage, 2014; Huerta, 2020). Por otro lado, el
Grupo 1 de profesores en formación, conjeturan desde su experiencia acerca del
uso de patrones para jugar.
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No,
porque el juego sigue siendo justo, ya que no se sabe lo que el otro jugador
va a realizar [piedra papel o tijera]. Pero de igual manera algunas veces la
gente sigue patrones que uno puede predecir para ganar. (Grupo_1) |
Predicen-Reconocimiento
de la necesidad de los datos |
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En síntesis, los futuros profesores basan sus
predicciones desde la probabilidad clásica, sin ahondar en cuestiones teóricas.
Lo que puede ser explicado, como menciona Huerta (2020) en el exceso de
problemas rutinarios afines al lanzamiento de “monedas, dados, ruletas o bolas”
(p.83) que han debido dar respuesta durante su formación, en los cuales asumen
la equiprobabilidad. Además, no hacen alusión a asignaciones cualitativas
relacionadas con probabilidad intuitiva, lo cual no evidenciaría un pensamiento
probabilístico en el profesorado en formación.
En la segunda interpelación los participantes
debían simular y describir lo observado. Al respecto, el profesorado en
formación presenta simulaciones realizadas en Excely
Apps de Internet como se muestra en la Figura 2. Se destaca que solamente un grupo
(figura del centro), generó una interfaz dinámica para recrear la actividad
planteada mediante las funciones de Excel.
Figura 2. Simulación del juego
Piedra, papel y tijera por grupo de profesores en formación.
Se observa el uso de tablas que permiten
visualizar patrones, a fin de dar sentido a los argumentos entregados por el
profesorado en formación. En síntesis, realizan una transnumeración
proceso asociado al pensamiento estadístico (Tabla 2) y al mismo tiempo hacen
uso de TIC. A continuación, se presentan algunos extractos de los comentarios
realizados después de simular el juego:
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Nuestra
opinión no cambia después de haberlo jugado, al elegir una opción de manera
espontánea no se obtiene un jugador ganador previo a la elección. (Grupo_11) El
juego es equitativo, debido a que los participantes tienen un 1/3 de
posibilidades para ganar. (Grupo_4) Se
puede observar que el juego es totalmente aleatorio y equitativo, ya que los
jugadores tienen la posibilidad de perder o ganar. (Grupo_1) |
Reconocimiento de la
necesidad de los datos Equiprobabilidad Reconocimiento de la
necesidad de los datos |
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Estas evidencias se sustentan en el cálculo de
probabilidad clásica, aleatoriedad y equiprobabilidad, acorde a una enseñanza aritmetizada de la probabilidad (Estrella, 2017). En
síntesis, no hacen uso de la integración de las TIC y la estadística para
analizar y describir el comportamiento del juego (Carver et al., 2016; Woodard, 2016). Por otro lado, de los once grupos,
solamente dos simularon el juego mediante un diagrama de árbol, como se muestra
en la siguiente Figura 3.
Fuente: Grupo_2
Figura 3. Simulación del juego Piedra, papel y tijera
mediante un diagrama de árbol
Comentando que.
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La
probabilidad teórica de ganar para ambos jugadores es de 1/ 3. Lo cual en
este caso es igual a los datos empíricos obtenidos de la simulación. Si se
aumente la cantidad de veces que se repita el experimento, las probabilidades
serán iguales o estarán cerca de las probabilidades teóricas. (Grupo_2) |
Razonamiento
con modelos estadísticos |
Los participantes calculan la probabilidad de
ganar mediante la regla de Laplace, sin referirse a supuestos teóricos como el
sesgo de la equiprobabilidad (Huerta, 2020), habilidades y conocimientos
propios del pensamiento estadístico (Garfield y Ben-Zvi,
2008). De manera similar los integrantes del Grupo 10, entregan el siguiente
diagrama de árbol.
Fuente: Grupo_10
Figura 4. Simulación del juego Piedra, papel y tijera
mediante un diagrama de árbol
En esta figura definen los eventos “Empate”,
“Gana jugador A”, “Gana Jugador B”, calcular las probabilidades asociadas a
estos eventos, comentando que:
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Podemos
observar las posibilidades que pueden ocurrir según la seña que haga cada
jugador, en este caso se puede observar las combinaciones que pueden hacer y el
resultado de estas.
(Grupo_10) |
Transnumeración |
Al respecto, llama la atención que ninguno de
los dos grupos escribe por extensión el espacio muestral de manera de calcular
las probabilidades teóricas de los eventos obtener Piedra (2/9), Papel (2/9) y
Tijera (2/9) y Empatar de ambos jugadores (3/9), atendiendo a las reglas del
juego. No obstante, los integrantes del Grupo2 deslizan de manera implícita el
significado frecuencial de la probabilidad y su relación con la Ley de los
Grandes Números (Batanero, 2005). En contraste, los futuros profesores del
estudio de Koparan (2019) describen por extensión el
espacio muestral y en base al enunciado del problema calculan correctamente las
probabilidades teóricas. Por su parte, los integrantes del Grupo 1, hacen
alusión de manera explícita al concepto de probabilidad teórica y de forma
implícita a la probabilidad frecuencial, como se evidencia en la siguiente
cita.
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La
probabilidad teórica de ganar es de 1/3. Los resultados van a depender de la
cantidad de veces que realices el juego. En la simulación se tiene que el
jugador 1 ganó 3/10, el jugador 2 ganó 4/10 y hubo 3 empates. (Grupo_1) |
Razonamiento
con modelos estadísticos |
De manera similar los integrantes del Grupo 6,
comentan que:
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Al
realizar dos simulaciones de 10 duelos, se observa que no hay una tendencia a
que gane un jugador especifico, más bien se observa una diferencia poco
significativa en los resultados. Donde el jugador 1 obtuvo en ambas
simulaciones 3/10 y 4/10 duelos ganados respetivamente. (Grupo_6) |
Razonamiento
con modelos estadísticos |
Los miembros de los Grupos 1 y 6 calculan erróneamente
las probabilidades solicitadas evidenciando una falta de comprensión del problema.
Por otro lado, en la actividad 2 se
propone un juego con dados lo que Huerta (2020) ha denominado problemas
rutinarios. En relación con la pregunta ¿crees que el juego es equitativo?
siete de los once grupos (63.6%) manifiestan que el juego no es equitativo. Algunos
de los argumentos entregados son:
|
Se ve
reflejado que las diferencias al lanzar dos dados se repiten más el 0,1y 2
que 3,4 y 5, por lo tanto, el juego no es equitativo. (Grupo_1) No es
equitativo el juego, dado que el jugador 1 tiene más posibilidades de obtener
las diferencias que se le piden para el triunfo. (Grupo_3) Realizamos
las diferencias para cada número de los dados, lo que nos da que las
posibilidades que salga 0, 1 y 2 son 15 veces, mientras que 3, 4 y 5
solamente 6 veces, por lo que el juego no es para nada equitativo. (Grupo_9) |
Reconocimiento
de Patrones Reconocimiento
de la necesidad de los datos Reconocimiento
de patrones |
Estos relatos son coherentes con lo mencionado
por Dayal y Sharma (2020). Asimismo, se observa que
las predicciones realizadas se fundamentan esencialmente en cuestiones
algorítmicas como el reconocimiento de patrones y no desde una mirada
intuitiva. Es decir, el estudiantado no formula conjeturas acerca del comportamiento
del juego en base a conceptos cualitativos (Batanero, 2005). Solamente, después
de observar el comportamiento del juego mediante Excel o Apps de Internet. En
general, los profesores en formación exponen que el juego no es equitativo,
entregando argumentaciones como:
|
Antes
de realizar el experimento no se tenía en conocimiento que la probabilidad de
cada resta no es equitativa, y que, por ejemplo, la diferencia más probable
es 1 y la menos probable es 5. Esto se da porque es más probable obtener
números, con un rango menor entre ellos. (Grupo_5) Antes
no teníamos la seguridad de que el juego era equitativo, pero ahora en base a
las tablas realizadas nos dimos cuenta que los jugadores no tenían las mismas
posibilidades de ganar. Y que el jugador que obtiene 0,1 y 2 tiene más
posibilidad que el otro. (Grupo_1) |
Reconocimiento
de la necesidad de los datos Transnumeración |
En estos casos se evidencia el uso de tablas de
contingencia para visualizar el comportamiento de las diferencias de los dados
acorde a las reglas del juego, en síntesis, hacen uso del proceso transnumeración (Wild y Pfannkuch,
1999), dando cuenta de un acercamiento al pensamiento estadístico (Garfield y
Ben-Zvi, 2008). Por otro lado, dos grupos comentan.
|
La
probabilidad teórica es que tenemos un total de 21 combinaciones posibles que
se pueden formar con el dado, de las cuales 15 sale ganador el jugador 1 que
tiene una diferencia menor igual a 2 y en 6 sale el jugador 2 que tiene una
diferencia mayor a 2, probabilidad que gane el jugador 1 es |
Razonamiento
con modelos teóricos |
En este relatohacen
alusión al cálculo de probabilidad, sin considerar las permutaciones de los
dados de manera de conocer la cardinalidad del espacio muestral, en cambio otro
grupo argumenta que la:
|
Probabilidad
teórica |
Razonamiento
con modelos teóricos |
Tal como se observa determinan heurísticamente
la probabilidad mediante la Regla de Laplace cuyo resultado es
|
|
|
Fuente: Grupo_2 y
Grupo_5, respectivamente
Figura 5. Tablas de doble
entrada que muestran las diferencias al lanzar los dados
Al respecto los participantes de dichos grupos
reseñan que:
|
La
probabilidad teórica que tienen los jugadores uno y dos de ganar son 66,7% y
33,3% respectivamente. En cambio, los resultados empíricos son 74% y 26%
respectivamente, lo que muestra claramente la ventaja que tenía un jugador
por sobre el otro (Grupo_2). Se
puede concluir, con los nuevos datos, que el juego no es equitativo, pues los
elementos del conjunto {0,1,2} tiene más probabilidad de ocurrencia,
específicamente un 66,6%. Aunque se repita 50 veces el experimento, las
probabilidades disminuyen, pero siendo favorables para el conjunto
mencionado, estamos hablando de un 1,53E-26% sobre un 1,237E-37% del conjunto
{3,4,5} (Grupo_5). |
Razonamiento
con modelos teóricos Razonamiento
con modelos teóricos |
En estos relatos escritos no se hace mención a cuestiones teóricas como la convergencia de los resultados
empíricos a los teóricos acorde a Ley de los Grandes Números. Aun cuando los
integrantes del Grupo_5, manifiestan el efecto de aumentar el número de
simulaciones, sin entregar mayores argumentaciones. Es decir, no reconocen
patrones para la toma de decisiones y realizar inferencias acerca del
comportamiento del juego, en base a un gráfico de barras simple como lo
realizan los participantes en el estudio de Dayal y
Sharma (2020). Asimismo, ningún grupo
hizo uso del diagrama de árbol para exhibir el número total de combinaciones
del lanzamiento de los dos dados acorde a las reglas del juego, lo cual es coherente
a lo encontrado por Dayal y Sharma (2020).
4.
Discusión y Conclusiones
Los cambios en el aula escolar deben ocurrir
primero en la formación inicial del profesorado. En este contexto, el presente
estudio analizó
la interacción y los argumentos que realizan los profesores y profesoras en
formación al dar respuesta a las interrogantes planteadas acerca de dos juegos
aleatorios.
Al respecto, los audios entregados por los grupos permitieron evidenciar
una escasa interacción entre los sus integrantes, que eventualmente incidiría
en desarrollar un diálogo tendiente a favorecer una argumentación y generación
de un aprendizaje colaborativo entre pares de manera de potenciar un
pensamiento probabilístico. No obstante, los relatos entregados por los
participantes proporcionan un acercamiento a la forma de pensar de ellos al
enfrentarse a una situación problema que eventualmente es procedimental. Es
decir, hacen hincapié al uso de la tecnología con la Estadística. Como así
también comentan
la forma de representar los datos (cambios de representaciones) acción asociada
al pensamiento probabilístico. Llama la atención que no dialoguen sobre las
fundamentaciones teóricas al comparar los resultados empíricos con los
hipotéticos.
Por otro lado, el análisis de contenido de las
respuestas entregadas por escrito da cuenta que las conjeturas que efectúan los
participantes acerca de la equidad del juego se basan esencialmente en las
simulaciones al cálculo de probabilidades mediante la regla de Laplace y del
concepto equiprobabilidad sin ahondar en la epistemología del concepto en
concordancia a lo mencionado por Huerta (2020). Como así también de las
nociones previas que tienen acerca de los juegos analizados, en particular el
relacionado con Piedra,Papel
y Tijera. Una explicación probable al respecto, podría ser que durante su
formación no ahondaron en situaciones problemas donde interviniera el concepto
de probabilidad intuitiva, como la formulación de conjeturas acerca del
comportamiento no determinístico.
En relación con las fases de observar y predecir los participantes las
entremezclan con la de explicar, etapa donde el profesorado en formación no
proporciona fundamentaciones teóricas al comparar, analizar, inferir y explicar
los resultados empíricos en particular no hacen referencia a la Ley de los
Grandes Números, aun cuando se encuentra presente en el currículo escolar
chileno.
En general, las opiniones, comentarios y propuestas de análisis
mencionadas por los miembros de los grupos en los videos se desarrollan en
extenso en las respuestas entregadas por escrito, lo cual deja entre ver un
escaso aprendizaje colaborativo oral entre los participantes. Asimismo, el
análisis y observaciones realizadas de las simulaciones no fueron contrastadas
con la literatura especializada, como por ejemplo la Ley de los Grandes Números
la cual deben enseñar en el sistema escolar chileno para explicar e inferir
acerca del comportamiento de fenómenos aleatorios.
Por otro lado, los profesores en formación demuestran escasas habilidades para simular en Excel procesos estocásticos en particular los juegos analizados, situación que es coherente a lo mencionado por (Sandoval et al., 2017). En este contexto es necesario ahondar durante la formación en softwares dinámicos como GeoGebra y en especial TinkerPlots como lo hace saber (Koparan, 2019), el que posee una interface gráfica y algebraica, que permite tomar decisiones, contrastar los resultados empíricos con la teoría, actividades que se pueden llevar al aula de clases. En adiciónel profesorado en formación que participó del estudio declara tener inseguridad en relación a los contenidos adquiridos acerca de probabilidad, situación que eventualmente les podría llevar a no enseñar este contenido en el sistema escolar. Lo cual es coherente a lo mencionado por Batanero et al. (2016) acerca que la formación que reciben los futuros profesores no adecuada para desenvolverse en el sistema escolar.
Cabe hacer notar que entre las limitaciones del presente estudio se
encuentra el número de participantes y el tipo de muestreo que no permite
generalizar los hallazgos. Asimismo, para futuros estudios se sugiere
entrevistar a los profesores en formación a fin de explorar su pensamiento
probabilístico con respecto a las interrogantes que debían dar respuesta. No
obstante, entrega antecedentes acerca de actividades que deberían ser
consideradas en los programas de asignatura de estadística y probabilidad de
manera que los futuros profesores del sistema escolar adquieran un pensamiento
probabilístico y alejarse de una estadística aritmetizada
como menciona Estrella (2017), atendiendo que este tipo de actividades se
encuentra presente en el currículo escolar chileno. En resumen, los investigadores
dejan planteadas inquietudes acerca de ahondar en los juegos no determinísticos
tradicionales, tanto en profesores en formación como en activo para que
integren no solo el contenido estadístico sino también habilidades propias del
pensamiento estadístico.
Agradecimientos
Este trabajo se enmarca
en el proyecto de investigación “Incidencia de la
formación estadística en la alfabetización y el pensamiento estadístico de los
futuros profesores de pedagogía en matemática” (FONDECYT INICIACIÓN N°11220295)
financiado por la Agencia Nacional de Investigación (ANID) de Chile
Referencias
Aksoy,
Y., Bayazit, İ., & Kırnap,
S.M. (2015). Prospective Primary School Teachers’ Proficiencies in Solving
Real-World Problems: Approaches, Strategies and Models. Eurasia Journal
of Mathematics, Science and Technology Education, 11(4), 827-839. https://doi.org/10.12973/eurasia.2015.1442a
Anasagasti,
J., & Berciano, A. (2016). El
aprendizaje de la estadística a través de PBL con futuros profesores de
Primaria. Contextos Educativos. Revista de Educación, Extra 1, 31-43. https://doi.org/10.18172/con.2699
Azcárate,
P., & Cardeñoso, J.M. (2011). La enseñanza de la
Estadística a través de escenarios: implicaciones en el desarrollo profesional.
Bolema. Boletim de Educação
Matemática, 24(40),789-810.
Batanero, C. (2005).
Significados de la probabilidad en la educación secundaria. Revista
Latinoamericana de Investigación en Matemática Educativa, 8(3), 247-264.
Batanero, C., Chernoff,
E.J., Engel, J., Lee, H.S., & Sánchez, E. (2016). Research on teaching and learning probability. Springer. https://doi.org/10.1007/978-3-319-31625-3
Biehler,
R., Ben-Zvi, D., Bakker, A., & Makar, K.
(2012). Technology for enhancing statistical reasoning at the school level. En M.A. Clement, A.J. Bishop, C. Keitel, J. Kilpatrick
& F.K.S. Leung (Eds.), Third International Handbook of Mathematics
Education (pp. 643-689). Springer. https://doi.org/10.1007/978-1-4614-4684-2_21
Blumberg, F., Almonte, D., Anthony, J., & Hashimoto, N. (2013).
Serious games: ¿What are they? What do they do? Why should we play them? En K. Dill (Ed.), The Oxford Handbook of Media
Psychology (pp. 334-351). Oxford University Press
https://doi.org/10.1093/oxfordhb/9780195398809.013.0019.
Carver, R., Everson, M., Gabrosek,
J., Horton, N., Lock, R., Mocko, M., Rossman, A.,
Roswell, G. H., Velleman, P., Witmer, J., & Wood, B. (2016). Guidelines for assessment and instruction in
statistics education (GAISE) college report 2016. AMSTAT. https://commons.erau.edu/publication/1083
Chávez,
N. (2020). Internet, tecnología… Los millennials están transformando la educación. Siembargo. Recuperado de
https://www.sinembargo.mx/02-02-2020/3722783.
Chevallard, Y. (2017).
¿Por qué enseñar matemáticas en secundaria?
Una pregunta vital para los tiempos que se avecinan. La Gaceta de la RSME, 20(1),159-169.
Cook, T., & Reichardt,
C. (2000). Métodos cualitativos y cuantitativos en
investigación en educación evaluativa. Morata.
Dayal, H., & Sharma, S. (2020). Investigating Probability Concepts of
Secondary Pre-service Teachers in a Game Context. Australian Journal of Teacher Education, 45(5), 91-109. https://doi.org/10.14221/ajte.2020v45n5.6
Estrella, S. (2017).
Enseñar Estadística para alfabetizar estadísticamente y desarrollar el
razonamiento estadístico. En A. Salcedo (Ed.), Alternativas pedagógicas para
la Educación Matemática del Siglo XXI (pp. 173-194). Caracas: Universidad
Central de Venezuela.
Garfield,
J., Aliaga, M., Cobb, G., Cuff, C., Gould, R., & Lock, R. (2005). Guidelines
for Assessment and Instruction in Statistics Education (GAISE) College Report. American Statistical Association.
Garfield, J., & Ben-Zvi,
D. (2008). Developing students’ statistical reasoning: Connecting research
and teaching practice. Springer.
Huerta,
P. (2020). Hipótesis y conjeturas en el desarrollo del pensamiento
estocástico: retos para su enseñanza y en la formación de profesores. Revista
Latinoamericana de Investigación en Matemática Educativa, 23(1),79-102. https://doi.org/10.12802/relime.20.2313
Koparan, T. (2019). Teaching Game and Simulation Based Probability. International Journal of
Assessment Tools in Education, 6(2),
235-258
Krippendorff, K. (1997). Metodología de análisis de contenido. Teoría y práctica. Paidós.
Küçüközer,
H. (2013). Designing a
powerful learning environment to promote durable conceptual change. Computers
& Education, 68, 482-491.
https://doi.org/10.1016/j.compedu.2013.06.012
Lee, H.S., & Hollebrands,
K. (2011). Characterizing and developing teachers’ knowledge for teaching
statistics with technology. En C. Batanero,
G. Burrill, y C. Reading (Eds.), Teaching statistics in school mathematics. Challenges
for teaching and teacher education. A joint ICMI and IASE study (pp.
359-369). Springer.
https://doi.org/10.1007/978-94-007-1131-0_34
León, N.
(2020). Alcances de la Enseñanza de la Estadística a través de la investigación
en la Educación Media de Venezuela. Revista
Paradigma, 40, 657-684. https://doi.org/10.37618/PARADIGMA.1011-2251.0.p657-684.id808
León, N. (2021).
Enseñanza de la Estadística con sentido y en contexto a través de la resolución
de problemas. Realidad y Reflexión, 53,
228-253. https://doi.org/10.5377/ryr.v53i53.10897
Luna, J.C. (2021). El
aprendizaje colaborativo en la enseñanza de la Matemática a nivel de
pregrado. Delectus, 4(1), 129-138. https://doi.org/10.36996/delectus.v4i1.71
Mayring, P. (2000).
Qualitative content analysis. Forum Qualitative Sozialforschung
/ Forum: Qualitative Social Research, 1(2), 20. https://doi.org/10.17169/fqs-1.2.1089
McMillan, J., & Schumacher, S. (2011). Investigatión educativa.
Pearson-Adisson Wesley.
Padilla-Escorcia,
I.A., & Acevedo-Rincón, J.P. (2021), Conocimiento especializado del
profesor que enseña la reflexión de la función trigonométrica seno: mediaciones
con TIC. Eco Matemático, 12(1),
93-106. https://doi.org/10.22463/17948231.3072
Perdomo,
I., & Rojas, J. (2018). La redificación como herramienta pedagógica:
algunas reflexiones desde la psicología. Revista
de Estudios y Experiencias en Educación, 18(36), 161-175. https://doi.org/10.21703/rexe.20191836perdomo9
Sánchez,
E., García-García, J., & Mercado, M. (2018). Determinism
and empirical commitment in the probabilistic reasoning of high school
students. En C. Batanero
& E. Chernoff (Eds.), Teaching and Learning Stochastics. ICME-13 Monographs (pp. 223-239). Springer. https://doi.org/10.1007/978-3-319-72871-1_13
Sandoval,
P., Rodríguez, F., Maldonado, F. (2017). Evaluación de la alfabetizacion
digital y pedagógica en TIC, a partir de las opinions
de estudiantes en Formación Inicial Docente. Educacao E Pesquisa, 43(1), 127-143. https://doi.org/10.1590/S1517-9702201701154907
Spiegelhalter, D., & Gage, J.
(2014). What
can education learn from real-world communication of risk and uncertainty? The Mathematics Enthusiast,
12(1), 4-10. https://doi.org/10.54870/1551-3440.1329
Takeuchi, M. (2016). Friendships and group work in
linguistically diverse mathematics classrooms: Opportunities to learn for
English language learners. Journal of the
Learning Sciences, 25(3), 411-437. https://doi.org/10.1080/10508406.2016.1169422
Wild, C., & Pfannkuch,
M. (1999). Statistical thinking in empirical enquiry. International Statistical Review, 67(3), 223-265. https://doi.org/10.1111/j.1751-5823.1999.tb00442.x
Woodard, R.D. (2016, Julio 30 - Agosto 4). Emphasizing
critical thinking in introductory statistics [Comunicación].
Joint Statistical Meetings, Chicago, Illinois, Estados
Unidos.